Besteht grundsätzlich die Möglichkeit, dass ich gleich in der wpa_supplicant.conf eine feste IP Adresse vorgebe?
Nein, dort wird nur festgelegt, mit welchem WLAN du dich verbinden willst. Es hat nichts mit IP-Adressen zu tun. Ich würde die feste IP-Adresse per Router zuweisen.
Wenn's unbedingt auf dem Raspi sein muss, dann muss /etc/dhcpcd.conf geändert werden. Bei mir steht da - ich hab's ganz unten einfach drangehängt:
sudo nano /etc/dhcpcd.conf
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# fallback to static profile on eth0
#interface eth0
#fallback static_eth0
interface wlan0
static ip_address=192.168.1.22/24
static routers=192.168.1.1
static domain_name_servers=192.168.1.22
Hier geht es um die letzten vier Zeilen ab interface wlan0.
Vorsicht: nicht einfach kopieren! Erst denken. Bei mir ist der Raspi selbst der Domain Name Server, bei dir mag das dein Router sein.
Du trägst da also die IP-Adresse deines Raspi ein und hängst die /24 dahinter, die Adresse deines Routers und die Adresse deine DNS (möglicherweise die gleiche wie die des Routers).
Lies das hier und versuche es zu verstehen. Auf dieser Seite wird beschrieben, wie einer seinem Raspi für beide Netzwerkschnittstellen (also LAN eth0 und WLAN wlan0) eine statische Adresse verpasst. Das macht der deshalb, weil er seinen Raspi per LAN angeschlossen hat und noch keine WLAN-Konfiguration hat. Du würdest das nur für wlan0 brauchen, also ist ein Teil der Erklärung dort für dich überflüssig. Vor allem lass deine wpa_supplicant.conf so wie sie ist.
Achtung! Du fummelst damit an den Netzwerk-Einstellungen des Raspi herum, was gerne dazu führt, dass du ihn gar nicht mehr erreichen kannst und dann eine Tastatur und einen Monitor anschließen musst. Deshalb solltest du unbedingt vorher ein Backup der SD-Card machen.